求f=arctanx的n阶导数在x=0处的值

因为f(x)=arctanx

f'(x)=1/(1+x?)=1-x?+x^4-x^6+.....

积分得：f(x)=x-x?/3+x^5/5-x^7/7+...

对比f(x)=∑f^(n)x^n/n!

得：当n为偶数2k时，f^n(0)=0

当n为奇数2k+1时，f^n(0)=(-1)^k*(n-1)。

导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'（x0）或df（x0）/dx。

导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

一方面，由定义，f（x）＝arctanx 的麦克老林公式中，x^n的系数是：f（n）（0） / n！，f（n）（0）表示在x＝0处的n阶导数。

另一方面，f ' （x）＝1/（1＋x^2）＝∑（－1）^n×x^（2n），所以，f（x）＝∑（－1）^n×x^（2n＋1）/ （2n＋1）

比较两个表达式中x^n的系数，得：

当n为偶数时，f（x）在x＝0处的n阶导数是0；

当n为奇数时，设n＝2m＋1，f（x）在x＝0处的n阶导数是：（－1）^m× （2m）！

y'=1/(1+x^2)

(1+x^2)y'=1

两边同时求n-1阶导数，

(1+x^2)·y(n)+(n-1)·2x·y(n-1)+(n-1)(n-2)/2·2·y(n-2)=0

代入x=0可得，

y(n)=-(n-1)(n-2)·y(n-2)

然后根据

y=0

y'=1

以及递推公式，可得

y''=0

y'''=-2=-2!

y(4)=0

y(5)=4!

……

然后可以归纳出通项公式。

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